物理學(xué)知識(shí)如何建構(gòu)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題舉例論文
［摘要］數(shù)學(xué)與物理學(xué)聯(lián)系密切，通常使用數(shù)學(xué)知識(shí)求解物理學(xué)問(wèn)題。筆者從相反的視角，以例題的方式闡述巧妙使用物理學(xué)知識(shí)建構(gòu)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，可使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解，達(dá)到事半功倍的效果。
［關(guān)鍵詞］物理學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)解題
我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)各學(xué)科相互交叉滲透融合求解問(wèn)題的思維和方法。筆者以例題的方式闡述巧妙借助物理學(xué)知識(shí)建構(gòu)求解一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，以達(dá)到加強(qiáng)學(xué)科間知識(shí)滲透，培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的目的。
1以物理模型為基礎(chǔ)建構(gòu)求解數(shù)學(xué)題
數(shù)學(xué)是解決物理學(xué)科的工具，即將一個(gè)具體的物理問(wèn)題抽象成為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決。相反，求解數(shù)學(xué)題也常用物理學(xué)中的方法和原理，通過(guò)建立物理模型進(jìn)行求解。題目：在銳角ΔABC的三邊上各找一點(diǎn)，連成三角形，使ΔABC的周長(zhǎng)最短。分析：利用物理學(xué)中的`光行最速原理建模求解。如圖1所示，設(shè)想AB、BC、CA表示三塊兩兩相交的平面鏡，AB面上有一點(diǎn)光源位于點(diǎn)X處，向BC面發(fā)出光線XY，在點(diǎn)Y反射后到達(dá)CA面的點(diǎn)Z處，最后光線回到AB面上的光點(diǎn)位于點(diǎn)P處。一般情況下，X和P不重合，但可以調(diào)整X的位置及XY的方向，總能使X和P重合，構(gòu)成光線三角形。根據(jù)物理學(xué)中光行速原理，可以知道在ΔABC的所有內(nèi)接三角形中，以光線三角形的周長(zhǎng)最短。解答：如圖2所示，設(shè)ΔXYZ為ΔABC的內(nèi)接光線三角形，則根據(jù)光的反射原理，設(shè)∠XYB＝∠ZYC＝α，∠YZC＝∠XZA＝β，∠ZXA＝∠YXB＝γ，則容易求得α+β+γ＝π，∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ。連接AY、BZ、CX，由∠YXB＝∠A可知X、Y、C、A四點(diǎn)共圓。同理，可得Y、Z、A、B四點(diǎn)共圓，Z、X、B、C四點(diǎn)共圓，易證AY⊥BC、BZ⊥CA、CX⊥AB，即ΔXYZ為ΔABC的垂足三角形。因此，我們只須作ΔABC三邊的高，三個(gè)垂足就是所求的點(diǎn)。題目：給出一內(nèi)角均小于23π的三角形，求作一點(diǎn)，使該點(diǎn)到該三角形的各頂點(diǎn)距離之和最小。分析：對(duì)物理系統(tǒng)的熱能分析求解該問(wèn)題。解答：如圖3所示，在ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C處安裝三個(gè)光滑滑輪，取有公共端點(diǎn)X的三條等長(zhǎng)細(xì)繩，使其分別繞過(guò)三個(gè)滑輪，在末端系有相同質(zhì)量的法碼，放手直至系統(tǒng)靜止。此時(shí)，系統(tǒng)的熱能最低，即P、Q、R三點(diǎn)都盡可能的低，即AP、BQ、CR盡可能的長(zhǎng)，從而AP+BQ+CR最長(zhǎng)。此時(shí)，AX+BX+CX最短。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠AXB＝∠BXC＝∠CXA＝23π時(shí)，AX+BX+CX最短。此時(shí)，點(diǎn)X即為所求的點(diǎn)。
2以物理學(xué)物理量矢量性建構(gòu)求解數(shù)學(xué)題
題目：設(shè)三個(gè)不為零的復(fù)數(shù)Z1、Z2、Z3滿足Z1+Z2+Z3＝0，|Z1|＝|Z2|＝|Z3|，試判斷由Z1、Z2、Z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以組成怎樣的三角形。分析：該題涉及數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)，可以與物理學(xué)力的矢量性聯(lián)系進(jìn)行求解。解答：如圖4所示，把復(fù)數(shù)Z1、Z2、Z3分別看成物理中的三個(gè)力F1、F2、F3，由于|Z1|＝|Z2|＝|Z3|，則力的大小|F1|＝|F2|＝|F3|，由Z1+Z2+Z3＝0，可得合力F1+F2+F3＝0。由力的合成與分解平行四邊形法則可知三個(gè)大小相等的力作用于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A，若要保持該質(zhì)點(diǎn)的平衡，只要這三個(gè)力兩兩之間的夾角均為23π即可，因此由Z1、Z2、Z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以組成一個(gè)等邊三角形。
3以物理學(xué)的一些原理建構(gòu)求解數(shù)學(xué)題
題目：一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后，又跳回到原高度的一半再落下。假定球與地面每次碰撞過(guò)程中沒(méi)有能量損失，空氣平均阻力大小不變，問(wèn)等到球停止運(yùn)動(dòng)，停留在地面上時(shí)，球總共經(jīng)過(guò)的距離為多少米？分析：此題是數(shù)學(xué)中的一個(gè)求無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的問(wèn)題，如果用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)計(jì)算求解比較復(fù)雜，現(xiàn)利用物理學(xué)中功能原理則容易求解。解答：設(shè)球的質(zhì)量為m（kg），空氣平均阻力大小為f（N），g為重力加速度，s為球總共經(jīng)過(guò)的距離。球從100m高處自由落下，著地后只回到50m處，說(shuō)明球的重力勢(shì)能（E＝mgh）減少了，減少的原因是克服空氣阻力做功，有fd＝ΔE，代入數(shù)值得f×（100+50）＝100mg-50mg，求得f＝13mg，同理，由功能原理有fs＝13mgs＝100mg，解得s＝300。因此球總共經(jīng)過(guò)的距離為300m。
4以物理學(xué)物理量某一特性建構(gòu)求解數(shù)學(xué)題
題目：有一列隊(duì)伍長(zhǎng)100m，通信員站在隊(duì)尾。由于要傳遞某一要令，他勻速跑向隊(duì)首，然后又以速度大小不變返回到隊(duì)尾。假定隊(duì)伍勻速前進(jìn)并恰好行進(jìn)了100m，問(wèn)通信員的跑步距離是多少？分析：本題是數(shù)學(xué)應(yīng)用題，如果僅僅用數(shù)學(xué)思想，忽視通信員、隊(duì)伍速率和時(shí)間這幾個(gè)物理學(xué)上的量來(lái)求解有一定難度。反過(guò)來(lái)，若以物理學(xué)中時(shí)間這個(gè)不變量建構(gòu)得到方程，可以快速解答。解答：設(shè)通訊員的跑步距離為Sm，其速率為V1，隊(duì)伍速率為V2，則通訊員從隊(duì)尾跑到隊(duì)首所花時(shí)間T1＝100/（V1-V2）。然后通訊員從隊(duì)首跑到隊(duì)尾所花時(shí)間T2＝100/（V1+V2），隊(duì)伍前進(jìn)100m所花時(shí)間T＝100/V2。因?yàn)橥ㄓ崋T往返時(shí)間等于隊(duì)伍前進(jìn)所花時(shí)間，即T＝T1+T2，抓住時(shí)間不變建構(gòu)數(shù)學(xué)方程100/（V1-V2）+100/（V1+V2）＝100/V2，解得V1/V2＝1+2。故通訊員的跑步距離S＝V1T＝V1×（100/V2）＝100×（V1/V2）＝100×（1+2）m。
5以物理學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法“線性內(nèi)插法”為基礎(chǔ)建構(gòu)求解數(shù)學(xué)題
物理學(xué)實(shí)驗(yàn)已測(cè)量第一次數(shù)據(jù)數(shù)值（x1，y1），第二次測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)值（x2，y2），待測(cè)物理量數(shù)值結(jié)果（x，y）可能出在第一次與第二次測(cè)量數(shù)值區(qū)間。
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