小學奧數中周期性問題的講解
奧數是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度.讓我們一起來閱讀“奧數應用題練習及解析：周期性問題”，忘了痛苦，忘了喜悅，沖吧!
11.乘積1×2×3×4×…×1990×1991是一個多位數，而且末尾有許多零，從右到左第一個不等于零的數是多少?
考點：周期性問題.1923992
分析：我們用所有數的乘積除以了495個5之后得到的個位數字是6，那還要除以495個2才可以，因為他們乘到一起變成了495個0，再除以495個2就相當于把末尾的0全部去掉了，那么此時的個位數字就是要求的第一個不為0的數.
2的495次方的個位數字是8(2的n次方的個位數字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123…3)
那么用剛才我們除以495個5之后得到的個位數字6除以8，就會得到最終的個位數字，6÷8的個位數字是2(就是2×8個位數字是6，當然7×8的個位數字也是6，但是注意了2的個數要遠多于495個，所以最終的去掉495個0之后的數一定是個偶數，所以只能是2.
解答：解：此題中是1991個數字的連乘積，根據題干分析：
所有數的乘積除以了495個5之后得到的個位數字是6，那還要除以495個2才可以，因為他們乘到一起變成了495個0，再除以495個2就相當于把末尾的0全部去掉了，那么此時的個位數字就是要求的第一個不為0的數.
2的495次方的個位數字是8;
2的n次方的個位數字是2，4，8，6四位一周期，
495÷4=123…3;
那么用剛才我們除以495個5之后得到的個位數字6除以8，就會得到最終的個位數字，6÷8的個位數字是2(就是2×8個位數字是6，當然7×8的個位數字也是6，但是注意了2的個數要遠多于495個，所以最終的去掉495個0之后的數一定是個偶數，所以只能是2.
點評：將原式進行分組整合討論，根據個位數字是2、5乘積的個位數字特點進行分析，得出從右邊數第一位不為0的數字規(guī)律;根據2的連乘積的末位數的出現(xiàn)周期解決問題，是本題的關鍵所在.
12.有串自然數，已知第一個數與第二個數互質，而且第一個數的恰好是第二個數的，從第三個數開始，每個數字正好是前兩個數的和，問這串數的第1991個數被3除所得的余數是幾?
考點：周期性問題.1923992
分析：(1)因為第一個數5/6×=第二個數×1/4，所以第一個數：第二個數=1/4：5/6=3：10.又兩數互質，所以第一個數為3，第二個數為10，從而這串數為：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
(2)要求這串數的.第1991個數被3除所得的余數是幾，可以先推理出得出這串數字除以3的余數的規(guī)律是什么;由此即可解決問題.
解答：解：根據題干分析可得這串數字為：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
這串數字被3除所得的余數依次為：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，
所以可以看出這串數字除以3的余數按“0，1，1，2，0，2，2，1”循環(huán)，周期為8.
因為1991÷8=248…7，所以第1991個數被3除所得余數應是第249周期中的第7個數，即2.
答：這串數的第1991個數被3除所得的余數是2.
點評：解答此題應注意以下兩個問題：(1)由于兩個數互質，所以這兩個數只能是最簡整數比的兩個數;
(2)求出這串數被3除所得的余數后，找出余數變化的周期，但這并不是這串數的周期.一般來說，一些有規(guī)律的數串，被某一個整數逐個去除，所得的余數也具有周期性.
13.表中，將每列上下兩個字組成一組，例如第一組為(共社)，第二組為(產會)，那么第340組是 (好，好) .
共產黨好共產黨好共產黨好......
社會主義好社會主義好社會主義好......
考點：周期性問題.1923992
分析：此題分成兩部分來看：(1)上面一部分的周期為：四字一周期，分別為：共→產→黨→好;那么第340個字在340÷4=85周期最后一個，與第一組中第四個字“好”相同;
(2)同樣的方法可以得出下面的周期為：五字一周期：社→會→主→義→好，由此即可解決問題.
解答：解：根據題干分析：
(1)上面四字一周期，分別為：共→產→黨→好;那么第340個字在340÷4=85周期的最后一個，與第一組中第四個字“好”相同;
(2)下面五字一周期，分別為：社→會→主→義→好，那么第340個字在340÷5=68周期最后一個數字，與第一周期的最后一個字“好”相同;
答：由上述推理可得：第340組的數字是(好，好)，
故答案為：(好，好).
點評：此題也可以這樣考慮：因為“共產黨好”四個字，“社會主義好”五個字，4與5的最小公倍數是20，所以在連續(xù)寫完5個“共產黨好”與4個“社會主義好”之后，將重復從頭寫起，出現(xiàn)周期現(xiàn)象，而且每個周期是20組數.
因為340÷20=17，所以第340組正好寫完第17個周期，第340組是(好，好).
14.甲、乙二人對一根3米長的木棍涂色.首先，甲從木棍端點開始涂黑5厘米，間隔5厘米不涂色，接著再涂黑5厘米，這樣交替做到底.然后，乙從木棍同一端點開始留出6厘米不涂色，接著涂黑6厘米，再間隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上沒有被涂黑部分的長度總和為 75 厘米.
考點：公約數與公倍數問題.1923992
分析：根據題意甲、乙從同一端點開始涂色，甲按黑、白，黑、白交替進行;乙按白、黑，白、黑交替進行，如圖所示.
由圖可知，甲黑、乙白從同一端點起，到再一次甲黑、乙白同時出現(xiàn)，應是5與6的最小公倍數的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它們按60厘米為周期循環(huán)出現(xiàn)，據此可以輕松求解.
解答：解：按60厘米為周期循環(huán)出現(xiàn)，在每一個周期中沒有涂色的部分是，
1+3+5+4+2=15(厘米);
所以，在3米的木棍上沒有涂黑色的部分長度總和是，
15×(300÷60)=75(厘米).
故答案為：75.
點評：此題主要考查最小公倍數問題，注意這里的周期是5與6最小公倍數的2倍，而不是5與6的最小公倍數.
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