數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟讀書(shū)筆記
一、摘要
理解實(shí)質(zhì)：
學(xué)會(huì)，會(huì)學(xué)
對(duì)于學(xué)生，不應(yīng)只滿足于表面文字的學(xué)會(huì)，還要深入理解概念、原理、方法等的精神實(shí)質(zhì)。
這樣解à怎樣解
看透本質(zhì)：
我們做題，首先要找到答案，這是基本要求，但不是最終的目的。如果求出答案后不能把題目所隱含的數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)揭示出來(lái)，就等于在原有的思維水平上簡(jiǎn)單重復(fù)、原地踏步而已。
知其然，不知其所以然
優(yōu)化素質(zhì)：
優(yōu)化數(shù)學(xué)素質(zhì)的主要途徑是注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，如概念的形成過(guò)程，定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，證明的尋求過(guò)程等。對(duì)于解題來(lái)說(shuō)，進(jìn)行解題過(guò)程的分析是優(yōu)化素質(zhì)的一條捷徑。
居高臨下的回首，就為我們提供了指導(dǎo)性的經(jīng)驗(yàn)。
學(xué)數(shù)學(xué)畢竟與學(xué)技藝不盡相同。一門(mén)技藝可以通過(guò)模仿與重復(fù)操練去掌握，而數(shù)學(xué)解題不是機(jī)械地重復(fù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)基本方法，還要綜合而靈活地運(yùn)用這些知識(shí)和方法，它在本質(zhì)上是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程。
后來(lái)，我們悟出了一個(gè)門(mén)路，那就是通過(guò)已知學(xué)未知，通過(guò)分析已經(jīng)解決過(guò)的題來(lái)領(lǐng)悟解題的思想，通過(guò)解題思想來(lái)駕馭知識(shí)與方法。
這個(gè)體會(huì)和方法，使我們擺脫了單純的模仿和在同一思維層次上的簡(jiǎn)單重復(fù)，使得每一天的學(xué)習(xí)都能獲得解題能力或思維水平的一點(diǎn)提高。我們認(rèn)為，為了提高數(shù)學(xué)能力，至少在還沒(méi)有找到更好的辦法之前，“分析已經(jīng)解決的題”是一個(gè)普遍可行的好方法。
事實(shí)上，解題思路的獲得，包括下列“三位一體”的完整工作：
1. 捕捉有用的'信息，符號(hào)信息和形象信息;
2. 提取記憶，主要是相關(guān)的公式、定理、基本模式等解題依據(jù);
3. 將兩者有效組合，使之成為一個(gè)合乎邏輯的和諧結(jié)構(gòu)�？嚯y就在于此步。
做題的作用：鞏固知識(shí)，加強(qiáng)記憶，加深理解的知識(shí)目的;
但更有提高能力，開(kāi)發(fā)智力，訓(xùn)練思維的能力目的。
解題的心理過(guò)程：
知道的越多，不知道的也越多
有用捕捉、有關(guān)提娶有效組合是心理活動(dòng)的外在表現(xiàn)它恰好對(duì)應(yīng)著人的復(fù)雜心理活動(dòng)過(guò)程的三個(gè)環(huán)節(jié)：觀察試驗(yàn)、聯(lián)想轉(zhuǎn)化、推理證明。
聯(lián)想轉(zhuǎn)化的樸素含義是，把待解決的或未解決的問(wèn)題，歸結(jié)為一類(lèi)已經(jīng)解決的或者比較容易解決的問(wèn)題。
愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：你能觀察到眼前的什么現(xiàn)象，不僅取決于你的肉眼，還取決于你運(yùn)用什么樣的思維，思維決定了你到底能觀察到什么。例子，魯賓雙關(guān)圖形
G.波利亞：
為初中生設(shè)計(jì)的：
設(shè)計(jì)出自己的解題表，以適應(yīng)具體的學(xué)科和學(xué)習(xí)的不同階段
差異分析法：
題目的條件與結(jié)論之間的差異成為目標(biāo)差
解題的實(shí)質(zhì)就在于設(shè)計(jì)一個(gè)目標(biāo)差不斷減少的過(guò)程
通過(guò)不斷尋找目標(biāo)差，不斷減少目標(biāo)差而完成解題的思維方法，成為差異分析法
從尋找目標(biāo)差入手，未知是什么?已知是什么?兩者有什么聯(lián)系與區(qū)別?
特殊化：
數(shù)學(xué)家認(rèn)為，在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，特殊化比一般化起著更為重要的作用
特殊化問(wèn)題有可能更簡(jiǎn)單、更容易，進(jìn)而推廣之
其功能在于：1解題的突破口，2尋找解題思路的策略，3完成解題過(guò)程的方法
由一般退到特殊，由復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，由抽象退到具體，由整體退到部分，退到最原始而又不失去重要性的地方，退到你會(huì)做、能下手的問(wèn)題上
數(shù)形結(jié)合：一柄雙刃的利劍
數(shù)轉(zhuǎn)化為形，看透實(shí)質(zhì)
如果一個(gè)特定的問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法
形轉(zhuǎn)化為數(shù)，
轉(zhuǎn)換思考的角度：
順向推導(dǎo)有困難時(shí)就逆向反求，直接解決問(wèn)題有困難就間接解決，正面證實(shí)困難就反面否定，探究可能性困難就探究不可能性，等式證明從左到右不順利就從右到左
逆推法，反證法，舉反例，常量變量換位，公式定理的逆用
分析法：由未知，找須知，靠攏已知
反證法更適用于否定性問(wèn)題、無(wú)限性命題、唯一性命題、存在性問(wèn)題、逆命題、學(xué)科起始性命題。
分類(lèi)討論：
層次解決：
解題研究表明，人們?cè)趧?chuàng)造性處理一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，思維是按照層次展開(kāi)的，先粗后細(xì)，先寬后窄
一般性解決à功能性解決，à特殊性解決
層次法往往同方程、函數(shù)結(jié)合起來(lái)
解題過(guò)程分析：
1. 多走了哪些回路，刪除合并之
2. 能否用更一般的原理代替現(xiàn)存的很多步驟，提高解題的觀點(diǎn)和層次
3. 是否有特殊的技巧
4. 是否浪費(fèi)了更重要的信息?
整體分解，提煉步驟
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